Un promotor de valores no necesita ser actuario, pero sí debe poder responder sin titubear a tres preguntas: ¿cuánto vale hoy un flujo futuro?, ¿qué tasa estoy comparando realmente? y ¿cuánto se mueve el precio de este instrumento si las tasas cambian? Este tema es el único del programa donde una respuesta se puede verificar con una calculadora, y por eso es también donde más se distingue a quien entendió de quien memorizó.
En el mercado de dinero mexicano casi todo se calcula con interés simple y base 360 días: I = P × i × t / 360. Así se liquidan CETES, reportos, pagarés bancarios y papel comercial. El interés compuesto, VF = VP(1 + i)n, aparece cuando hay reinversión: fondos, carteras de largo plazo, comparación de tasas efectivas. Despejando se obtienen el valor presente VP = VF / (1 + i)n, la tasa i = (VF/VP)1/n − 1 y el plazo mediante logaritmos. La regla del 72 da una aproximación rápida del tiempo de duplicación: 72 dividido entre la tasa en por ciento.
Una tasa nominal no dice nada por sí sola: hay que saber cada cuánto capitaliza. La tasa efectiva anual es (1 + j/m)m − 1. Una nominal de 12% capitalizable mensualmente equivale a 12.6825% efectivo; una de 24% capitalizable trimestralmente, a 26.2477%. Comparar dos productos con periodicidades distintas sin convertir a tasa efectiva es el error más común y más costoso. La tasa real descuenta la inflación por la ecuación de Fisher: (1 + real) = (1 + nominal) / (1 + inflación). Con 10% nominal y 4% de inflación, la tasa real no es 6% sino 5.7692%.
Los CETES son cupón cero a descuento: se compran por debajo de su valor nominal de 10 pesos y se amortizan a la par. Con tasa de descuento: P = VN × (1 − d × t/360). Con tasa de rendimiento: P = VN / (1 + y × t/360). Para un mismo instrumento la tasa de rendimiento es siempre mayor que la de descuento, porque el rendimiento se calcula sobre el precio pagado y el descuento sobre el valor nominal. Despejando el rendimiento desde el precio: y = ((VN − P) / P) × (360 / t).
El precio de un bono con cupón es el valor presente de sus flujos descontados al rendimiento exigido. De ahí tres relaciones que el examen pregunta sin descanso: si el cupón es igual al rendimiento el bono cotiza a la par; si el rendimiento es mayor que el cupón, cotiza con descuento; si es menor, con premio. Y siempre: precio y tasa se mueven en sentido contrario. La duración de Macaulay es el plazo promedio ponderado de recuperación de la inversión; la duración modificada, D / (1 + y), estima el cambio porcentual del precio ante un movimiento de la tasa: ΔP% ≈ −Dmod × Δy. La convexidad corrige esa aproximación lineal y explica por qué la ganancia cuando las tasas bajan supera a la pérdida cuando suben lo mismo.
El rendimiento de una acción combina precio y dividendo: (P₁ − P₀ + D) / P₀. Para comparar periodos distintos se usa la media geométrica, no la aritmética. El riesgo se mide con la desviación estándar y, en cartera, depende de la correlación: dos activos con correlación inferior a 1 reducen el riesgo total sin sacrificar el rendimiento esperado, que siempre es el promedio ponderado. El CAPM vincula rendimiento exigido y riesgo sistemático: E(r) = rf + β(rm − rf). Y el modelo de crecimiento constante valúa una acción como P = D₁ / (k − g). Ninguna de estas fórmulas garantiza un resultado: son marcos de comparación que el promotor debe saber explicar sin prometer nada.
1. ¿Cuál es el interés simple de 100,000 pesos invertidos a una tasa anual de 8% durante 90 días, con base 360?
I = P × i × t/360 = 100,000 × 0.08 × 90/360 = 100,000 × 0.02 = 2,000 pesos. La base 360 es la convención del mercado de dinero mexicano. Fuente: normativa de cálculo de intereses del Banco de México y Ley del Mercado de Valores.
2. Un cliente invierte 250,000 pesos a 60 días con una tasa anual de 12% (base 360). ¿Cuánto recibe de intereses?
I = 250,000 × 0.12 × 60/360 = 250,000 × 0.02 = 5,000 pesos. El monto total al vencimiento sería de 255,000 pesos. Fuente: convenciones del mercado de dinero y normativa del Banco de México.
3. ¿Cuál es el interés simple generado por 500,000 pesos al 15% anual durante 182 días, base 360?
I = 500,000 × 0.15 × 182/360 = 500,000 × 0.0758333 = 37,916.67 pesos. Si se usara base 365 el resultado sería 37,397.26, de ahí la importancia de la convención. Fuente: Ley del Mercado de Valores y prácticas de cálculo del mercado de dinero.
4. Una inversión de 1,000,000 de pesos a 28 días paga una tasa anual de 7.20% (base 360). ¿Cuánto interés genera?
I = 1,000,000 × 0.072 × 28/360 = 1,000,000 × 0.0056 = 5,600 pesos. El plazo de 28 días es el estándar del mercado de dinero mexicano. Fuente: normativa del Banco de México sobre cálculo de intereses.
5. Un pagaré de 150,000 pesos paga 9% anual a 180 días, base 360. ¿Cuál es el monto total a recibir al vencimiento?
I = 150,000 × 0.09 × 180/360 = 6,750. Monto = 150,000 + 6,750 = 156,750 pesos. Fuente: Ley de Instituciones de Crédito y normativa del Banco de México sobre pagarés bancarios.
6. Un cliente invierte 400,000 pesos a 91 días con tasa anual de 8.25% (base 360). ¿Cuál es el interés?
I = 400,000 × 0.0825 × 91/360 = 400,000 × 0.0208542 = 8,341.67 pesos. Fuente: convenciones de cálculo del mercado de dinero mexicano y normativa del Banco de México.
7. Una inversión de 200,000 pesos generó 6,000 pesos de interés en 90 días (base 360). ¿Cuál fue la tasa anual?
Se despeja i = I / (P × t/360) = 6,000 / (200,000 × 0.25) = 6,000 / 50,000 = 0.12, es decir 12% anual. Fuente: prácticas de cálculo del mercado de dinero y normativa del Banco de México.
8. ¿Cuál es el valor presente de 103,500 pesos que se recibirán en 90 días, si la tasa de descuento anual es 14% (base 360, interés simple)?
VP = VF / (1 + i × t/360) = 103,500 / (1 + 0.14 × 0.25) = 103,500 / 1.035 = 100,000 pesos exactos. Fuente: normativa del Banco de México sobre valuación de instrumentos de mercado de dinero.
9. ¿Cuál es el valor futuro de 10,000 pesos invertidos dos años a una tasa efectiva anual de 10%?
VF = VP(1 + i)ⁿ = 10,000 × (1.10)² = 10,000 × 1.21 = 12,100 pesos. Los 100 pesos de diferencia frente al interés simple son el interés sobre interés. Fuente: metodologías de valuación reconocidas por la normativa de la CNBV.
10. ¿Cuál es el valor futuro de 50,000 pesos a tres años con una tasa efectiva anual de 8%?
VF = 50,000 × (1.08)³ = 50,000 × 1.259712 = 62,985.60 pesos. Con interés simple habrían sido 62,000, la diferencia es la capitalización. Fuente: metodologías de valuación aceptadas por la normativa de la CNBV.
11. Una inversión de 20,000 pesos a cuatro años con tasa efectiva anual de 5% alcanza un valor futuro de:
VF = 20,000 × (1.05)⁴ = 20,000 × 1.21550625 = 24,310.13 pesos. Fuente: metodologías de valuación reconocidas por la normativa de la CNBV y del proveedor de precios.
12. ¿Cuál es el valor futuro de 15,000 pesos invertidos cinco años a una tasa efectiva anual de 12%?
VF = 15,000 × (1.12)⁵ = 15,000 × 1.7623417 = 26,435.13 pesos. Fuente: metodologías de valuación aceptadas conforme a la normativa de la CNBV.
13. ¿Cuál es el valor presente de 133,100 pesos a recibir en tres años, con una tasa de descuento efectiva anual de 10%?
VP = 133,100 / (1.10)³ = 133,100 / 1.331 = 100,000 pesos exactos. Fuente: metodologías de valuación por flujos descontados reconocidas por la normativa de la CNBV.
14. Un cliente necesita 1,000,000 de pesos dentro de dos años y puede invertir a 9% efectivo anual. ¿Cuánto debe invertir hoy?
VP = 1,000,000 / (1.09)² = 1,000,000 / 1.1881 = 841,679.99 pesos. Un año menos daría 917,431.19, de ahí el distractor. Fuente: metodologías de valor presente aceptadas conforme a la normativa de la CNBV.
15. Una inversión creció de 100,000 a 161,051 pesos en cinco años. ¿Cuál fue su tasa efectiva anual?
i = (VF/VP)^(1/n) − 1 = (1.61051)^(1/5) − 1 = 1.10 − 1 = 10% anual. La cifra 61.05% es el rendimiento acumulado, no anualizado. Fuente: metodologías de cálculo de rendimiento reconocidas por la normativa de la CNBV.
16. Aplicando la regla del 72, ¿en cuántos años se duplica aproximadamente un capital invertido al 8% anual?
La regla del 72 divide 72 entre la tasa en por ciento: 72/8 = 9 años. El cálculo exacto con logaritmos da 9.006 años, por lo que la aproximación es muy buena. Fuente: metodologías financieras estándar aplicadas conforme a la normativa de la CNBV.
17. Con la regla del 72, ¿qué tasa anual se requiere para duplicar un capital en 6 años?
Se despeja la tasa: 72/6 = 12% anual. Es una aproximación: el cálculo exacto arroja 12.246%. Fuente: metodologías financieras estándar aplicadas conforme a la normativa de la CNBV.
18. Una tasa nominal anual de 12% capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva anual de:
Tasa efectiva = (1 + j/m)^m − 1 = (1 + 0.12/12)^12 − 1 = (1.01)^12 − 1 = 0.126825, es decir 12.6825%. Fuente: normativa del Banco de México sobre cálculo y expresión de tasas de interés.
19. Una tasa nominal de 24% capitalizable trimestralmente equivale a una tasa efectiva anual de:
(1 + 0.24/4)^4 − 1 = (1.06)^4 − 1 = 1.26247696 − 1 = 26.2477%. A mayor frecuencia de capitalización, mayor tasa efectiva. Fuente: normativa del Banco de México sobre expresión de tasas de interés.
20. Una tasa nominal de 10% capitalizable semestralmente equivale a una tasa efectiva anual de:
(1 + 0.10/2)² − 1 = (1.05)² − 1 = 1.1025 − 1 = 10.25%. Fuente: normativa del Banco de México sobre cálculo de tasas de interés.
21. Una tasa nominal de 18% capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva anual de:
(1 + 0.18/12)^12 − 1 = (1.015)^12 − 1 = 1.1956182 − 1 = 19.5618%. Fuente: normativa del Banco de México sobre expresión de tasas de interés.
22. Un cliente compara dos alternativas: A paga 12% nominal capitalizable mensualmente y B paga 12.50% efectivo anual. ¿Cuál rinde más?
A equivale a (1 + 0.12/12)^12 − 1 = 12.6825% efectivo anual, superior al 12.50% de B. Para comparar tasas con periodicidades distintas siempre hay que llevarlas a la misma base efectiva. Fuente: normativa del Banco de México sobre expresión de tasas de interés.
23. Una tasa nominal de 8% capitalizable trimestralmente equivale a una tasa efectiva anual de:
(1 + 0.08/4)^4 − 1 = (1.02)^4 − 1 = 1.08243216 − 1 = 8.2432%. Fuente: normativa del Banco de México sobre cálculo de tasas de interés.
24. Con una tasa nominal de 10% y una inflación de 4%, ¿cuál es la tasa real exacta según la ecuación de Fisher?
(1 + real) = (1 + nominal)/(1 + inflación) = 1.10/1.04 = 1.057692, luego real = 5.7692%. La resta simple (10 − 4 = 6%) es solo una aproximación. Fuente: metodología de tasas reales del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
25. Si un instrumento paga 9% nominal y la inflación es 5%, la tasa real exacta es:
real = (1.09/1.05) − 1 = 1.0380952 − 1 = 3.8095%. La aproximación por resta daría 4%, sobreestimando el rendimiento real. Fuente: metodología del Banco de México para el cálculo de tasas reales. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
26. Con una tasa nominal de 8.50% y una inflación de 3.75%, la tasa real exacta es:
real = (1.085/1.0375) − 1 = 1.0457831 − 1 = 4.5783%. Fuente: metodología del Banco de México sobre tasas reales e instrumentos indizados a la inflación. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
27. Un cliente obtiene 6% nominal con una inflación de 4%. ¿Qué le ocurre a su poder adquisitivo?
real = (1.06/1.04) − 1 = 1.0192308 − 1 = 1.9231%. El poder adquisitivo crece, pero menos de lo que sugiere la resta simple. Fuente: metodología del Banco de México para el cálculo de rendimientos reales. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
28. Si la tasa nominal es 4% y la inflación 6%, la tasa real es:
real = (1.04/1.06) − 1 = 0.9811321 − 1 = −1.8868%. Una tasa real negativa significa que el rendimiento no compensa la inflación. Fuente: metodología del Banco de México sobre tasas reales. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
29. ¿Cuál es el precio de un CETE con valor nominal de 10 pesos, plazo de 28 días y tasa de descuento anual de 9% (base 360)?
P = VN × (1 − d × t/360) = 10 × (1 − 0.09 × 28/360) = 10 × (1 − 0.007) = 10 × 0.993 = 9.93 pesos. Fuente: metodología de valuación de CETES del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
30. Un CETE a 91 días se cotiza con tasa de rendimiento de 11% anual. ¿Cuál es su precio (valor nominal 10 pesos, base 360)?
P = VN / (1 + y × t/360) = 10 / (1 + 0.11 × 91/360) = 10 / 1.0278056 = 9.7295 pesos. Con tasa de descuento el precio sería 9.7219, ligeramente distinto. Fuente: metodología de valuación de CETES del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
31. ¿Cuál es el precio de un CETE a 28 días con tasa de rendimiento anual de 10% (valor nominal 10 pesos, base 360)?
P = 10 / (1 + 0.10 × 28/360) = 10 / 1.0077778 = 9.9228 pesos. El precio siempre es menor al valor nominal porque el CETE es un instrumento a descuento. Fuente: metodología del Banco de México para la valuación de CETES. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
32. Un inversionista compra un CETE a 28 días en 9.95 pesos y lo mantiene hasta su amortización a 10 pesos. ¿Cuál es su tasa de rendimiento anualizada (base 360)?
y = ((VN − P)/P) × (360/t) = (0.05/9.95) × (360/28) = 0.0050251 × 12.857143 = 0.064609, es decir 6.4609% anual. Fuente: metodología de cálculo de rendimiento de CETES del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
33. Un CETE a 182 días se compra en 9.45 pesos. ¿Cuál es su tasa de rendimiento anualizada (valor nominal 10, base 360)?
y = ((10 − 9.45)/9.45) × (360/182) = 0.0582011 × 1.978022 = 0.1151228, es decir 11.5123% anual. Fuente: metodología del Banco de México para el cálculo del rendimiento de CETES. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
34. Un cliente compra 10,000 CETES a un precio de 9.93 pesos cada uno y los mantiene al vencimiento. ¿Cuánto gana?
Desembolso = 10,000 × 9.93 = 99,300 pesos. Al vencimiento recibe 10,000 × 10 = 100,000 pesos. La ganancia es de 700 pesos. Fuente: metodología de valuación y amortización de CETES del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.
35. Para un mismo CETE, ¿cómo se relacionan la tasa de descuento y la tasa de rendimiento?
La tasa de descuento se aplica sobre el valor nominal y la de rendimiento sobre el precio pagado, que es menor. Al dividir la misma ganancia entre una base menor, el rendimiento resulta mayor. Fuente: metodología de valuación del Banco de México. Fuente: Ley del Mercado de Valores y normativa de la CNBV.